Logo projektu Zeměpisec.cz
Zeměpisec.cz

Výpočet směrníku a rajónu v geodézii

Výpočet směrníku a rajonu je základní geodetická úloha. V našich podmínkách se nejčastěji počítají v souřadnicovém systému S-JTSK, ve kterém je osa +X orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Směrník

Směrník slouží pro výpočet polohy bodů a délky strany mezi dvěma body u nichž známe souřadnice. Jde o úhel měřený v geodeticky kladném směru, který svírá osa x se stranou stanovisko – měřený bod. Nabývá hodnot 0 až 400 gonů a značíme ho symbolem σ.

Výpočet směrníku je následovný:

  • Body A a B povedeme rovnoběžky se souřadnými osami X,Y a dostaneme pravoúhlý trojúhelník o odvěsnách ΔX (XB - XA) a ΔY (YB-YA).
  • Vypočtením přepony S(A,B) pomocí Pythagorovy věty získáme vzdálenost mezi body A a B
  • Tangenc pomocného úhlu φ vypočteme dle vzorce tan φ = ΔX / ΔY, pomocný úhel dosahuje hodnoty maximálně 100 gonů
  • Určíme, v jakém ze čtyř kvadrantů se daný směrník nachází. A to buď nakreslením celé situace (viz obr. 1), nebo dle znamének souřadnicových rozdílů (viz obr. 2). Na základě této informace a hodnoty pomocného úhlu φ získáme výslednou hodnotu směrníku σ.

Rajón

Výpočet rajónu je opačným postupem k výpočtu směrníku. Známe délku strany na nový bod, směrník z orientace na daný bod a počítáme neznáme souřadnice bodu P.

V modelové situaci (viz obr. 3), kdy známe souřadnice bodu A a B a směrníky těchto bodů, změříme úhel ω (úhel mezi |AB| a |AP|) a délku S A,P (vzdálenost mezi body A a P).

Nejprve získáme směrník σ A,P, který vypočteme jednoduchým přičtením úhlu ω ke směrníku σ A,B.

Poté vypočteme souřadnicové rozdíly ΔX a ΔY dle vzorců ΔX = S A,P * cos (σ A,P) a ΔY = S A,P * sin (σ A,P).

Souřadnice bodu P dostaneme pak přičtením souřadnicových rozdílů k souřadnicím bodu A.

Studijní materiály Základy geodézie a GPS

Téma Výpočet směrníku a rajónu je součástí studijních materiálů Základy geodézie a GPS (GNSS). Tento předmět byl vyučován na Geografickém ústavu Masarykovy univerzity. Přejděte na rozcestník témat (1. tlačítko), nebo si přečtěte předešlé (2. tlačítko) či následujícící (3. tlačítko) téma.